L’infini, ce concept qui semble défier notre entendement, vient de se complexifier davantage. Imaginez un monde où non seulement l’infini existe, mais où il se décline en une multitude de formes, chacune plus vaste et plus complexe que la précédente. C’est le monde fascinant que nous révèlent des mathématiciens de l’Université de Technologie de Vienne et de l’Université de Barcelone, avec la découverte fortuite de deux nouveaux types d’infinis : les cardinaux exigeants et ultra-exigeants.
Une découverte qui bouleverse la hiérarchie des infinis
Depuis plus d’un siècle, les mathématiciens savent que l’infini n’est pas une entité unique, mais qu’il existe une hiérarchie d’infinis, chacun surpassant le précédent en grandeur. L’infini des nombres naturels (1, 2, 3…) est dépassé par celui des nombres réels, qui englobe les nombres négatifs et les décimaux. Cette hiérarchie, longtemps considérée comme linéaire, est aujourd’hui remise en question par l’arrivée de ces nouveaux venus.
Les cardinaux exigeants et ultra-exigeants, loin de s’intégrer sagement dans cette échelle, interagissent de manière inattendue avec les autres types d’infinis. Ils défient les lois mathématiques établies et remettent en cause des concepts fondamentaux, comme l’axiome du choix.
L’axiome du choix mis à l’épreuve
L’axiome du choix, un pilier des mathématiques modernes, stipule qu’il est possible de créer un nouvel ensemble de nombres en sélectionnant des éléments dans d’autres ensembles. Cet axiome permet de classifier les infinis en trois catégories : ceux qui s’y conforment, ceux qui sont si grands qu’ils engendrent un chaos mathématique, et ceux qui se situent entre les deux.
Les chercheurs pensaient initialement que les cardinaux exigeants et ultra-exigeants appartenaient à cette zone intermédiaire. Cependant, leurs propriétés singulières les rendent difficiles à classer. “On ne sait pas vraiment s’ils se trouvent au sommet de cette région médiane, où les axiomes sont toujours compatibles avec tous les autres axiomes de la théorie des ensembles, ou s’ils forment une quatrième région qui se trouve en quelque sorte à côté de la région chaotique, mais au-dessus des précédentes”, explique Juan Aguilera, co-auteur de l’étude.
Des infinis qui se contiennent eux-mêmes
Pour mieux comprendre l’étrangeté de ces nouveaux infinis, imaginez une maison qui contiendrait en son sein de multiples copies d’elle-même, à l’échelle réelle. C’est l’image que les chercheurs utilisent pour illustrer les cardinaux ultra-exigeants. Ces copies incluent en outre des règles mathématiques sur leur propre création, comme si la maison imbriquée était tapissée de plans d’elle-même.
Cette découverte pourrait contredire l’hypothèse “Héréditairement Ordinal Définissable”, qui postule que l’axiome du choix impose un ordre aux infinis, même les plus grands. Les cardinaux exigeants et ultra-exigeants semblent défier cet ordre, ouvrant ainsi la voie à de nouvelles perspectives en mathématiques.